Similar y a la vez Distinto - Nuestro Universo

Uno de los temas mas intrigantes sobre como funciona nuestro universo.

¿Que tienen en común, un brocolí y las galaxias?

Estos tienen patrones interminables, que en matematicas se llaman fractales, el brocolí por ejemplo, tiene que cada una de sus formas es una versión similar de una de sus ramas, así que, si uno corta una rama, obtendría una versión mas pequeña de todo el brocolí, y las galaxias dentro de si, tienen estrellas que conforman sistemas solares muy parecidos entre si, pero podemos estar seguros que no hay dos galaxias, ni dos brocolis iguales.

Los copos de nieves son otro ejemplo muy claro de estructuras fractales, todos se parecen mucho, pero es muy conocido que no existen dos copos de nieve iguales. 

La geometría fractal ofrece una explicación increíble al porque se crean continuamente estructuras nuevas que se auto replican pero que a la vez son únicas y porque hasta los elementos mas pequeños que pueden existir son componentes necesarios de un todo mas grande(Universo). 

Historia y Teoría de la Geometría Fractal

El termino fractal fue acuñado en honor al matemático Benoit(benuah) Mandelbrot, uno de los pioneros mas importantes en el estudio de los fractales. Fue el principal creador de la Geometría Fractal, al referirse al impacto de esta disciplina en la concepción e interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza.  Mandelbrot en si, centro su investigación en uno de los temas que mas le interesaban mientras trabajaba en la IBM, los descubrimientos de los matemáticos del principio del siglo XIX cuando intentaban concretar la definición de lo que es una curva, el trabajo de Georg Cantor sobre la linea que puede ser dividida eternamente, y el triangulo de perímetro infinito de área finita de Helge Von Koch. Mandelbrot uso la informática moderna para ese entonces para repetir todos estos monstruos matemáticos millones de veces. Este proceso lo llevo a crear su propia ecuación al combinar los patrones encontrados en sus experimentos, y el resultado, su conjunto de números.

En 1982 publicó su libro Fractal Geometry of Nature, en el que explicaba sus investigaciones en este campo. Mandelbrot sostuvo que los fractales, en muchos aspectos, son más naturales, y por tanto mejor comprendidos intuitivamente por el hombre, que los objetos basados en la geometría euclidiana, que han sido suavizados artificialmente. 

El estudio matemático riguroso de este conjunto realmente comenzó con el trabajo de los matemáticos Adrien Douady y John H. Hubbard, quienes demostraron muchas de sus propiedades fundamentales y nombraron el "Conjunto de Números de Mandelbrot" en honor de Mandelbrot. Entre otras propiedades, probaron que es un conjunto conexo y formularon la conjetura MLC, que formula la creencia de que el conjunto de Mandelbrot es locamente conexo.

En síntesis, es una  visualización geométrica de un fractal o los resultados exponenciales de la ecuación: 

Cuya función es arrojar una serie de variables complejas, una de las funciones que generan oscilación en los resultados exponenciales es la función inversa, así como las contenidas en otras ecuaciones de las funciones holomorfas. Otro resultado que arroja la función de la ecuación son las series de potencias complejas: cuya consecución se traza de acuerdo a los resultados obtenidos con diferentes variables (si la variable arroja exponencialmente resultados oscilatorios en números negativos y positivos) lo cual genera el cambio de dirección entre cada punto, si seguimos los valores exponenciales arrojados en ese orden de un número negativo seguido por uno positivo sucesivamente, valores que (aparentemente infinitos) nos llevan a una curvatura en la representación gráfica obteniendo los fractales.

Este conjunto se define en el plano complejo fijando un número complejo "c" cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por recursión:

Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido del mismo. Por ejemplo, si c = 1 obtenemos la sucesión 0, 1, 2, 5, 26, …, que diverge. Como no está acotada, 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot.

En cambio, si c = –1 obtenemos la sucesión 0, –1, 0, –1, …, que sí es acotada y, por tanto, –1 sí pertenece al conjunto de Mandelbrot.

Algo interesante es que, en teoría, si se deja actuar por si sola, esta ecuación, continuaría creando un numero infinito de patrones nuevos a partir de la estructura original demostrando así que esta estructura podría ser aumentada por toda la eternidad 

Visualización Geométrica Principal del Conjunto

        Esquina Superior Derecha       Punto Extremo Izquierdo                Lado Izquierdo               

Comprobación del Fractal

La geometría fractal se puede testear de diversas formas hoy día, ademas de ya aplicarse en muchos campos, como por ejemplo:

• El estudio de fenómenos naturales: Dentro de la biología del planeta Tierra, también se encuentran patrones fractales en fenómenos naturales tan dispares como los terremotos, la fragmentación de los minerales, la trayectoria de los ríos o la coordinación del vuelo de las bandadas de pájaros. Además, los fractales sirven en ecología para cuantificar la cantidad de CO2 que los bosques pueden llegar a procesar, o incluso, estudiar cómo se extiende un fuego en un incendio forestal.                                                                                      
• Los estudios en astrofisica: los fractales se utilizan para analizar la formación de las estrellas, ya que las nubes de partículas (igual que las de lluvia) se forman siguiendo el principio de autosimilitud, con patrones irregulares pero recurrentes. Es entendible entonces que el desarrollo de tecnologías que dependen de fenómenos físicos, como las telecomunicaciones, también hagan uso de los fractales para optimizar su rendimiento, como en el caso de las antenas que utilizan esta base matemática para alcanzar un rango más amplio de frecuencias, muy comunes en dispositivos inalámbricos.                                                                                     
• En la investigación sobre el cáncer: Aunque durante siglos se había pensado que el corazón humano late de forma regular y lineal, finalmente se ha demostrado que existe un patrón fractal determinado para los latidos de un corazón sano. Investigadores de la Harvard Medical School han demostrado que las alteraciones en la escala fractal pueden ser la base de alteraciones fisiopatológicas, incluido el síndrome de muerte súbita cardíaca. Los fractales también explicarían cómo los pulmones (un órgano con una forma que responde a estos mismos patrones) se ventilan de manera homogénea en un proceso que optimiza el gasto energético siguiendo un patrón fractal determinado. ¿Es entonces la geometría fractal una especie de principio de diseño biológico que nos programa para funcionar de la manera más eficaz posible? De ser así, una de sus aplicaciones más prometedoras es detectar cuándo va a fallar esa programación óptima, convirtiéndose en una potente herramienta de diagnóstico, mucho más que cualquier máquina y, además, de aplicación universal. Así, en el tratamiento del cáncer, por ejemplo, la geometría fractal es útil para desvelar la arquitectura patológica de los tumores y sus mecanismos de crecimiento. 

Hoy día hasta existe la creencia de que el propio universo es un fractal, ya que a medida que lo vamos examinando mas de cerca podemos descubrir patrones repetitivos pero a la vez distintos, como en miles de millones de galaxias, que dentro tienen billones de estrellas dentro de las que hay miles de millones de sistemas solares y planetas, de entre estos últimos la tierra, y dentro de la tierra hay continentes, dentro de los cuales hay países que tienen en si ciudades que albergan personas dentro de la cuales tienen un cerebro hecho de millones de células que tienen neuronas, y dentro de esas neuronas hay ADN, dentro de el encontramos átomos, electrones, protones y neutrones, y si vamos un poco mas allá, encontraríamos los llamados quarks y neutrinos, y así sucesivamente hasta un quizás todavía sin respuesta, el infinito.

Entonces, ¿Porque existe similitud y a la vez desigualdad en todos los componentes que conforman el universo? El planteamiento de la pregunta es confuso, pero ciertamente entendimos que hay modelos matemáticos que podemos usar para entender este fenómeno, entre ellos, los fractales, y de entre ellos, el conjunto de números de mandelbrot. 

Ademas,  se puede suponer entonces, que la naturaleza compleja y intrigante de los fractales no nos han permitido sacarle el máximo provecho a ellos mismos, pero si hay algo de lo que podemos estar seguros y satisfechos, es que ya tenemos las bases para comenzar a entender nuestro universo tan similar y único a una misma vez. 

PD: Los pitagóricos tenían razón: 

"Todo lo que existe en la naturaleza son, en esencia, números."