La derivada vs La integral - ¿Enemigas Milenarias?

Primera gran entrada.

Para comenzar a hablar sobre el tema principal, hay que recordar un poco de teoría fundamental sobre el calculo en si y algunas convenciones muy usadas en esta área de las mates.  

Debemos de entender muy bien como mínimo a que nos referimos cuando hablamos de una derivada y una integral para poder saber de donde sale la idea de la rivalidad entre estos dos métodos matemáticos para resolver operaciones, y de que aun a pesar de esta "rivalidad", no puede desarrollarse una sin la la otra. 

Empecemos entonces.

El concepto fundamental es entender lo que es una FUNCIÓN

Mira la siguiente imagen, podríamos decir que la función es una caja que ejecuta algún proceso automático de conversión, el cual exige como requisito de uso que introduzcas algún objeto(números), y como resultado te dará un nuevo objeto.

En la imagen puedes ver como se introducen manzanas enteras por un lado de la caja, y por el otro salen ya cortadas, entonces podríamos suponer que la "función" que cumple esta caja es cortar las manzanas a la mitad.

Ahora mira la siguiente ecuación: f(x)=x/2

Podrías decir que esta ecuación es el proceso automático que se ejecuta dentro de la caja, pues cualquier numero que ingreses tomando la posición de x sera dividido a la mitad, por ende, cuando salga sera un nuevo numero (y), por ejemplo:

f(8)=8/2 = 4

8 toma el valor de x, y cuando sale de la caja, se convierte en un 4.

Interesante ¿no?, ahora  imagina que esta caja solo puede cortar a la mitad manzanas, exclusivamente manzanas, si ingresas alguna otra fruta el resultado sera desastroso, así que la caja esta limitada a solo cortar manzanas a la mitad, por ello a las manzanas se les llama dominio, porque es el objeto en el cual la caja(función) puede ser usada, y los resultados de estos objetos del dominio ingresados se les llama codominio, contradominio y rango, aunque actualmente se suele usar el termino rango. 

El dominio y el rango se usan para poder definir rápidamente a que objetos se les puede ingresar a esa caja. 

Es muy difícil saber exactamente a todos los números a los que es aplicable una función, pero puedes guiarte fácilmente usando un gráfico que te muestra cuales son esos números al igual que también saber sus resultados sin ejecutar la función, ¿no me crees?, mira la siguiente imagen nuevamente.

Esas reglas cruzadas en 0 son un plano cartesiano, las cuales tienen un eje de ordenadas(verticales) y un eje de abscisas(horizontales), también se les llama eje Y y eje X, extraña relación con el dominio y codominio ¿no?, en realidad es exactamente lo que estas pensando, los números que toman el valor de x los colocas a la altura del resultado y, el punto de unión que hay en esa relación debe ser marcado, a medida que realizas este proceso unas 6 o 8 veces logras ver una relación, o mejor dicho una linea, gráficas esa linea usando como referencia los puntos y vuala, entre mas extiendas esa linea, mas te permitirá ver los resultados de todo su dominio.

Claro, no todas las funciones tienen una gráfica parecida a una recta, por ello hay métodos que te permiten seguir deduciendo mas allá todas las partes de una función... 

y de hay salen los conceptos que vamos a analizar, uno se llama derivación, el otro integración, ¿para que sirve cada uno?

DERIVADA

Lógicamente has de tener una idea mínima de lo que es una derivada si estas visitando este blog, pero para que no te abrumes si no recuerdas enteramente el concepto, te lo refresco brevemente.

Cuando nos referimos a una derivada hablamos acerca de la pendiente que hay en cada punto de una gráfica, y ¿que es esa pendiente? Una pendiente es la inclinación de una recta en un punto, podemos imaginar a una recta como una carretera, y la pendiente es la inclinación de la carretera en un punto fijo, por ejemplo:

Una carretera que tiene una parte que es plana, digamos 100 km, y luego tiene una subida de montaña. Sabemos que la pendiente de la carretera en una montaña no va a ser igual a la de el tramo que es plano. Por lo que la pendiente (inclinación) en el kilómetro 101, no va ser igual a la del tramo de la carretera que es plano.

Entonces, si tenemos una ecuación como la anterior: f(x)=x/2 , lo que queremos es definir la pendiente de x/2 con respecto al eje X, para hacerlo se usa una de las tantas formulas para obtener la derivada de una función, en este caso seria:

Diciendo que nuestra u es la variable y la v es la constante, si reorganizamos esta formula con nuestra función quedaría como f'(x)= 2-x/2^2

Nuestra derivada esta lista, pero para simplificar un poco los términos (haciendo mas facil el uso de la ecuación), continuamos y queda como: f'(x)= 1/2

Esta es una de las tantísimas maneras de resolver derivadas, pero para este caso solo necesitamos esa formula, ¿difícil? espero que no, pues esto tiene un sin fin de utilidades.

*Redoble de tambores*

Y ahora su gran contraparte:

INTEGRAL

¿Que es la integral entonces?, e aquí la respuesta...

El concepto de integral se basa en una operación contraria a la derivada por eso su nombre de: antiderivada, las reglas de la derivación son la base de cada operación de la integral indefinida. 

 Es importante tener en cuenta que cuando se invierte algo donde intervienen más de una operación, éstas han de invertirse pero en orden opuesto, si se considera la operación de ponerse el calcetín y después el zapato, lo inverso será primero quitarse el zapato y luego el calcetín. A la hora de hablar de antiderivadas intervienen más elementos como son los llamados máximos y mínimos que básicamente son las alturas a la que llega la curva trazada de una función, la cual puede ser cóncava. 

ANTIDERIVADAS

 

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada. Por ejemplo: Si f(x) = 3x2 , entonces, F(x) = x 3 , es una antiderivada de f(x). 

Cabe denotar que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3 + 5, entonces es otra antiderivada de f(x), la antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida. 

¿Y que es una integral indefinida? es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función, se representa por: ∫ f(x) dx se lee integral de x diferencial de x, ∫ es el signo de integración, f(x) es el integrando o función a integrar, dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra, C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. 

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: ∫ f(x) dx = F(x) + C 

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar. Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.

Se representa por ∫ es el signo de integración, a límite inferior de la integración, b límite superior de la integración, f(x) es el integrando o función a integrar, dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

¿Enemigas Milenarias?

Y ahora si, damos un salto de la teoría a la realidad tal como la percibe mi cerebro y te explico porque llamo enemigas a estas dos...

Un indicio en el cual pensé, es en el propio nombre que se le dan a las integrales indefinidas, ANTIDERIVADAS, inmediatamente te hace pensar en lo absolutamente contrario a la derivada, o al menos esa fue mi primera impresión, ahora, mi punto de vista cambia un poco. 

Pero si hay algo de lo que hay que estar cocientes(valga la redundancia), es de la regla matemática no inscrita que habla por intuición acerca de que toda operación matemática tiene su operación inversa o contraria, ejemplo: la suma tiene a la resta, la multiplicación a la división, la potenciación a la radicación y la logaritmación a la exponenciación. 

Todos son procesos que pueden revertirse mediante su operación inversa, y el caso de las derivadas y las integrales, a pesar de ser un tanto distintas, no son la excepción. 

Pero ¿serán enteramente opuestas, unas enemigas milenarias como las llamo en el titulo de este blog?, pues básicamente si y no. 

¿Porque digo esto? Aunque es cierto que son operaciones opuestas o inversas, lo que hace una lo deshace la otra y viceversa (lo que hace la otra, lo deshace la una), realmente una no podría ser desarrollada sin la otra. 

Como mencione en teoría:

"...las reglas de la derivación son la base de cada operación de la integral indefinida."

Así que de aquí parto para decir que estas están obligadas a tener una relación llena de amor-odio. 

Lo mejor que logro extraer de esta relación, es que gracias a que existen las derivadas tenemos las integrales indefinidas o mejor llamadas antiderivadas, y junto a ellas un sin fin de utilidades, para cerrar con broche de oro dejo algunos ejemplos.

• En la Estadística para la propagación de incertidumbres, algoritmos, probabilidades financieras y Actuaria.
• El cálculo Integral lo utiliza la medicina para encontrar el ángulo de ramificación óptimo en los vasos sanguíneos para maximizar el flujo.
• En el campo de la Ingeniería electrónica, las integrales cumplen una función muy importante, para calcular corrientes, capacitancias, tiempos de carga y descarga de corriente, entre otras.
• En la Ecología y Medio Ambiente se emplea para el conteo de organismos y cálculo de crecimiento exponencial de bacterias y especies; así como, en modelos ecológicos tales como: el cálculo de crecimiento de poblaciones, Ley de enfriamiento y calentamiento global del planeta.
• En muchas situaciones físicas se emplea en la aproximación del impulso. En esta aproximación, se supone que una de las fuerzas que actúan sobre la partícula es muy grande pero de muy corta duración.
• Se utilizan en la hidráulica, para calcular áreas y volúmenes de líquido, para calcular su fuerza, y presión.
• En el área de Química se utiliza el cálculo integral para determinar los ritmos de las reacciones y el decaimiento radioactivo.
• En los campo de informática & computación se utiliza en la fabricación de chips ; miniaturización de componentes internos; administración de las compuertas de los circuitos integrados; compresión y digitalización de imágenes, sonidos y vídeos; investigación sobre inteligencias artificiales